【問題集】No.2 よく使う確率計算2 (期待値)

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問題集No2

今年も無事に新年に至りました。皆様あけましておめでとうございます。
さて、新年一発目は「期待値」の問題です。テーブルゲームとは直接関係ありませんが、皆様の(そして私の)夢が例年通り儚く散ったであろうアレからの出題となります。

【お願い】
出題した問題の解答は1~2週間程度の間をおいてアップする予定ですが、お約束はできない状態です。気長にお待ちください。
また、問題を解かれた方につきましては、当記事のコメントやツイッターでのコメントなどで「回答」をお書き頂かないようお願い致します。非公開の手段での回答や、解った旨のみをコメントして頂くことは問題ありません。



そもそも「期待値」を確率計算だと言い切ってしまうのは少々乱暴な気がしてなりませんが、言うまでもなく密接に関係しています。今回は問題前に、期待値の説明をしましょう。


【期待値】
確率によっていろいろな値をとる変数があるとき、それが平均してどの程度の値をとるかを示す値。


はい。世界大百科事典からの抜粋(ちょっと変更)によるとこういうことらしいです。ちょっとわかりにくいのでサイコロを例にとってみましょう。サイコロを1度振った時で出た目の期待値を考えます。
このとき、上記の変数とは1~6の目を指します。それが平均していくつぐらいになるかということなのですが、ここで1つ疑問があるでしょう。平均するからには試行回数が知りたいところです。しかし、期待値における試行回数は(敢えて言うならば)無限回なのです。「サイコロを1度振る」を無限回行って、出た目の平均を求めればそれが期待値というわけですね。
でも、無限回サイコロを振るのはちょっと無理・・・そんなときに確率を使います。試行回数が多いほど確率通りになっていくという性質から、無限回やれば確率はゆるぎないものになります。

細かい説明はさておき、それぞれが発生する確率に、それによって生じる変数を掛け算し、それら全ての和を求めると、それが期待値になります。サイコロの例に戻るとそれぞれの目は1/6ででるので、

{(1/6)×1}+{(1/6)×2}+{(1/6)×3}+{(1/6)×4}+{(1/6)×5}+{(1/6)×6}
= 21/6
= 3.5


となります。つまりサイコロを無限回振れば平均して3.5が出るということになります。だからどうしたの?って感じですが、これが文字通りサイコロを1度振った時に期待できる値ということになります。
例えば、手番の頭に「お金を3ドルもらう」か「お金をサイコロを振って出た目」だけもらうと選べるゲームがあった場合、基本的には後者を選ぶのが得策と言えます。(もちろん、他のルールや状況によって一概には言えませんが)サイコロなら3.5ドルが期待できるのですから。

さて、前置きが解説バリになってしまいましたが(笑)ここで今回も問題です。

【問題】
「第651回年末ジャンボ」及びに「第652回年末ジャンボミニ」はどちらも販売額が300円です。連番で10枚を購入する場合にどちらを買った方が得策か(当選額の期待値が高いか)答えなさい。各々の当選額一覧は以下に記します。

『第651回年末ジャンボ』
  • 1等(当選額 ¥500,000,000)が1本(1000万本中)
  • 1等前後(当選額 ¥100,000,000)が2本(1000万本中)
  • 1等組違(当選額 ¥100,000)が99本(1000万本中)
  • 2等(当選額 ¥1,000,000)が30本(1000万本中)
  • 3等(当選額 ¥3,000)が10万本(1000万本中)
  • 4等(当選額 ¥300)が100万本(1000万本中)
  • 特別賞(当選額 ¥50,000)が3000本(1000万本中)

『第652回年末ジャンボミニ』
  • 1等(当選額 ¥70,000,000)が10本(1000万本中)
  • 2等(当選額 ¥7,000,000)が20本(1000万本中)
  • 3等(当選額 ¥700,000)が200本(1000万本中)
  • 4等(当選額 ¥70,000)が1000本(1000万本中)
  • 5等(当選額 ¥7,000)が2万本(1000万本中)
  • 6等(当選額 ¥300)が100万本(1000万本中)

既に終わってしまった宝くじの期待なんて、今更求めたところでなんの得もないわけですが(笑)、実生活版の期待値計算ですので、練習だと思ってチャレンジしてみてください。
それにしても「年末ジャンボミニ」って相殺してただの「年末」なんじゃないですかね(何)

特質するべきこともあまりない問題なので、解答は早めにアップする予定です。


  


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