【解答】No.2 よく使う確率計算2 (期待値)

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解答No2

今回の問題は既にやったことがある方もたくさんいそうでしたね(笑)
テーブルゲームと直接関係のないお題でしたが、確率はその結果がどの程度の成果をもたらすかとリンクして初めて意味を成しますので、宝くじの雑学を求める、そしてゲームにも使える生々しい期待値の解答編をみていきましょう!

【解答記事です!】
この記事は既に出題している問題の解答です。一度問題をご覧頂いてからお読みください。(対応する問題を参照しながら見てください)また、この解答・解説が必ずしも正しく、唯一のものとは限りませんので、参考程度にお読み頂ければ幸いです。

【問題集】No.2 よく使う確率計算2 (期待値)



とはいうものの、期待値については問題のほうで触れてしまっているので何も難しいことはありません。

  • 各々の宝くじに対し、1枚あたりの期待値を求めて比較する。
  • 各等級の当選確率は「本数 / 1000万」で計算する。

たったのこれだけです。現物をネタにしておりますので、少々計算量は多いですが、実際は桁数が大きいだけなので大したことはありません。
例えば、「第651回年末ジャンボ」の一等については「5億 × 1/1000万」で求められます。これは「第651回年末ジャンボ」において1等しか存在しない場合の期待値となりますが、他の等級も同様に計算して和を求めれば宝くじの期待値がでます。エクセルか何かを使えば一瞬ででますね(笑)


 『第651回年末ジャンボ』
等級当選額当選確率当選額 × 確率
1等¥500,000,0001 / 1000万50
1等前後¥100,000,0002 / 1000万20
1等組違¥100,00099 / 1000万0.99
2等¥1,000,00030 / 1000万3
3等¥3,00010万 / 1000万30
4等¥300100 万 / 1000万30
特別賞¥50,0003000 / 1000万15


 『第652回年末ジャンボミニ』
等級当選額当選確率当選額 × 確率
1等¥70,000,00010 / 1000万70
2等¥7,000,00020 / 1000万14
3等¥700,000200 / 1000万14
4等¥70,0001000 / 1000万7
5等¥7,0002万 / 1000万14
6等¥300100 万 / 1000万30



この表から、それぞれの期待値を求めると・・・
『第651回年末ジャンボ』   148.9
『第652回年末ジャンボミニ』 149


つまり、ほとんど差はないながらも『第652回年末ジャンボミニ』、通称『年末』のほうが、リターンがより期待できる宝くじであるということがわかりました。これが今回の問題の解答です。購入額300円との差額、宝くじに含まれる夢代は150円ぐらいということになります。
皆様、お疲れ様でした。



解答としてはこれで終わりなのですが、問題では敢えて「連番で10枚を購入する場合」と記述しています。こう書かれると、

  • 300円当選は確定なので、計算が変わってくるのではないか。
  • 10枚中の1枚目と2枚目では微妙に確率が変わるのではないか。

このあたりが気になったりしませんか?
気になった方は、かなり良いテーブルゲーム脳をお持ちになっていると思います。テーブルゲームではこれほど莫大な数を扱うことはありません。同じレベルに立ち返って、宝くじは数十枚しかこの世にないとすれば、期待値と同じぐらい「確約した金額」や「くじの残り枚数」が重要なキーポイントになってくるので、ゲーマーとしては気になっても何ら不思議ではないでしょう。

しかし、実際には上記のどちらも問題になりません。
試しに頑張って計算してみても良いですが、3000円払って300円が確約させている状態と、300円当選に対する期待値30円(対300円)は同じ意味になりますし、1000万枚ジャストの宝くじがあるとしても(実際には増刷されたり、同じ番号を2枚買えたりもします)、1枚目と2枚目での当選確率は変動しません。10枚のくじに1枚あたりがあり、順番に1枚づつ引いていく確率を計算してみてください。1枚目でも2枚目でも8枚目でも、当たる確率は「1/10」になります。1000万枚だろうが、1億枚だろうが、同じことが起こります。
などなど・・・結果だけいうと、今回の結果に変わりがありません。



しかし、ここでもう一点。問題に『どちらを買った方が得策か(当選額の期待値が高いか)答えなさい。』と書いてあります。実際の宝くじではこの期待値を計算し、300円と比較した結果、買わなかったり買う量を調整したりすることが想定されますが、ゲームだとすると、必ずどちらかを買うという大前提があったりします。そんなときはいちいち全てを計算する必要はありません。どっちが上かが重要です。
計算結果Aと計算結果Bを比較する場合、双方から同じ数を足したり引いたり、同じ数でかけたりわったりしてもその大小関係には変化がありませんので・・・

  • 双方に1000万をかけて、純粋に当選合計額だけを比較する。
  • 可能な限り相殺していき、計算を簡単にする。

こんな方法を使うのが、一番楽だったりします。
例えば、ジャンボの1等及び前後賞の当選額合計とジャンボミニの1等の当選額合計はともに7億です。なので相殺してしまい、見なかったことにすれば無駄に大きな数に付きまとわれずにすみます。300円当選も消してしまいましょう。そうすると全ての当選額を1000でわる(=千円表記にする)ことに迷いが無くなります。ざくっと変更して・・・
はい、最終的には接戦となることが既に求められていますが、ジャンボの組違九十九本があだとなり、最終的にはミニに軍配が上がることでしょう。


ちなみに、ゲーム創作のケースは前者に近い求め方が、ゲーム中には後者に近い求め方をお勧め致します。前者は求めるべきこと以外の情報を得ておく方法です。後者は今なすべき一手に注力する方法です。

「よく使う確率計算」としては、並び替えや組み合わせが必修科目な気がしますので、これもどこかでやりますが、次回は少し確率から離れてみようかなと思います。リクエスト募集中ですので、何か問題にしてみてほしいことがあれば、遠慮なくご連絡ください!


 


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